Gdy nieskończoność spotyka ograniczenie prędkości informacji - hotel Hilberta w czasoprzestrzeni.
Wstęp
Klasyczny Hotel Hilberta to miejsce, gdzie nieskończoność działa jak magia - nawet jeśli wszystkie nieskończone pokoje są zajęte, zawsze znajdzie się miejsce dla nowego gościa. Wystarczy prosta instrukcja[1]:
Proszę się przeprowadzić do pokoju o numerze o jeden większym - mieszkającej tam osobie proszę przekazać tę karteczkę.
I rusza fala przeprowadzek: 1→2, 2→3, 3→4, ... - pokój nr 1 się zwalnia. Nieskończony hotel działa perfekcyjnie.
Co się stanie, gdy do hotelu przybędzie wielu gości?
Recepcjonista pisze więcej karteczek. Goście czekają. Każdy ma znaleźć dla siebie miejsce. Ale pojawia się problem: przeprowadzki muszą się odbyć po kolei. Nie mogą być jednoczesne - przecież:
- Każda przeprowadzka wymaga fizycznego przemieszczenia (czas)
- Karteczka musi dotrzeć do kolejnej osoby (informacja ≠ natychmiast)
- Nie istnieje globalny zegar, który zsynchronizuje całą nieskończoność[2]
Hotel Hilberta staje się układem dynamicznym. Rekurencja z parametrem n+1 staje się asymptotycznie spóźniona.
Horyzont Hilberta = horyzont Hubble’a
Jeśli recepcjonista ma ograniczoną prędkość wysyłania informacji (np. prędkość światła), a pokoje są rozłożone w przestrzeni, to może się zdarzyć, że:
- Nie zdąży powiadomić mieszkańców zbyt odległych pokoi
- „Karteczka” nigdy nie dotrze - pokoje odsuną się za horyzont Hubble’a[3]
- Niektórzy goście zostaną bez adresu docelowego - system przestaje być deterministyczny
To więcej niż paradoks. To ontologiczny rozpad spójności. Hotel staje się przestrzenią z lokalnymi ogniskami przeprowadzek, rozdzielonymi nieskończonością czasu i przestrzeni.
Metafizyka recepcjonisty
Recepcjonista staje się figurą demiurga: nie może „zaprogramować” całej rzeczywistości naraz - musi ją przekonywać krok po kroku. Przypomina to teorię kolapsu fali: przypisanie musi być przekazywane lokalnie, ze skończoną prędkością. Nie istnieje globalna synchronizacja wszechświata[4].
Wnioski i puenta
Hotel Hilberta działa w matematyce, ale w fizycznym wszechświecie - z ograniczoną prędkością światła, entropią, rozciągającą się czasoprzestrzenią - nie zadziała nigdy w pełni. Możemy mieć strukturę nieskończoną, ale niekomunikowalną. Systemy, w których informacja o zmianie nigdy nie dotrze do niektórych regionów. Granica n → ∞ staje się granicą poznania, nie tylko rozmiaru.
I może się zdarzyć, że recepcjonista nie zdąży przed horyzontem.
- [1] Paradoks Hotelu Hilberta sformułowany został przez Davida Hilberta w 1924 roku jako ilustracja osobliwości nieskończoności w teorii mnogości.
- [2] W ogólnej teorii względności nie istnieje pojęcie uniwersalnego czasu - każdy obserwator ma swój lokalny zegar.
- [3] Horyzont Hubble’a to maksymalna odległość, z której światło mogło do nas dotrzeć od początku istnienia wszechświata.
- [4] Podobne ograniczenia pojawiają się w interpretacjach kwantowych, np. w relacyjnej mechanice kwantowej Rovelliego czy w lokalnym realizmie Bellowskim.
